STATISTIQUE INFÉRENTIELLE

La statistique inférentielle constitue aujourd’hui un outil indispensable à la prise de décision en économie, en gestion et, plus largement, dans l’ensemble des sciences sociales. Conçu à l’intention des étudiants de Licence ainsi que des praticiens souhaitant consolider leurs acquis, cet ouvrage présente de manière progressive les fondements de l’inférence statistique, depuis les lois de probabilité et l’échantillonnage jusqu’à l’estimation, aux tests d’hypothèses, à l’analyse de la variance et à la régression. Illustré par de nombreux exemples inspirés des réalités économiques et sociales du Cameroun, il privilégie une approche pédagogique associant rigueur scientifique, applications concrètes et interprétation des résultats. Véritable guide d’apprentissage et d’aide à la décision, ce manuel offre au lecteur les outils nécessaires pour transformer les données en informations fiables au service de l’analyse et de l’action.

Les auteurs

Mireille ABIALA AMBIANA est titulaire d’un PhD en sciences économiques, spécialité Économie publique. Enseignante-chercheure au Département des Techniques quantitatives de la Faculté des Sciences Économiques et de Gestion (FSEG) de l’Université de Yaoundé II, elle mène depuis plusieurs années des travaux portant sur les questions de bien-être, avec un intérêt particulier pour les applications des innovations technologiques à la statistique et à l’analyse économique.

Maximilien KOUL NGWE MANGUELLE est titulaire d’un PhD en sciences économiques, spécialité Économie du travail. Enseignant-chercheur au Département des Techniques quantitatives de la Faculté des Sciences Économiques et de Gestion (FSEG) de l’Université de Yaoundé II, ses travaux s’inscrivent principalement dans les domaines de l’économie du travail, de la gestion des ressources humaines et de la microéconomie, qui constituent ses principaux champs de recherche.

 Avant-propos ...........................................................................................................................................................................................................................................................................                               5

Sommaire .........................................................................................................................................................................................................................................................................................                               7

Introduction générale ......................................................................................................................................................................................................................................... 9

Chapitre premier. Rappels sur les lois de probabilités usuelles .......................................                11

I. Variables aléatoires et caractéristiques fondamentales ....................................................;;;.....................              11

1.1. Définition intuitive : de l’expérience ou l’épreuve aléatoire vers la
variable aléatoire ......................................................................................................................................................................................................................................         11

1.2. La distinction fondamentale : discrètes vs continues ......................................................................               11

1.3. Les indicateurs de position et de dispersion .........................................................................................................              12

A. L’espérance mathématique E(X) .......................................................................................................................................................            12

B. La variance V(X) et l’écart-type σ(X) ........................................................................................................................................            12

1.4. La fonction de répartition F(x)  ..............................................................................................................................................................           12

II. Les lois de probabilité discrètes usuelles .....................................................................................................................................           13

2.1. La loi uniforme discrète ............................................................................................................................................................................................         13

2.2. La loi de Bernoulli B(p) ..............................................................................................................................................................................................         13

2.3. La loi binomiale B(n,p) ...............................................................................................................................................................................................          14

2.4. La loi de Poisson P(λ) ......................................................................................................................................................................................................        14

2.5. La loi géométrique ou loi de Pascal G(p) .........................................................................................................................             14

2.6. La loi hypergéométrique H (N,M,n) .............................................................................................................................................            15

III. Les lois de probabilité continues usuelles ...............................................................................................................................           15

3.2. La loi exponentielle (ε) ................................................................................................................................................................................................         16

3.3. La loi normale (ou de Laplace-Gauss) N(μ ,σ) ...................................................................................................               16

3.4. La loi de Student t(n) .......................................................................................................................................................................................................         17

3.5. La loi du Khi-deux χ2 (k) .........................................................................................................................................................................................         19

3.6. La loi de Fisher F(n1, n2)  .....................................................................................................................................................................................         20

IV. Convergences et approximations ..................................................................................................................................................................          22

4.1. Le Théorème Central Limite (TCL) : la clé de voûte .............................................................................               22

4.2. Approximation de la loi binomiale par la loi normale ....................................................................                23

4.3. Approximation de la loi de Poisson par la loi normale .................................................................                23

V. Guide pratique : Quelle loi pour quel problème ? ....................................................................................................              24

5.1. Tableau décisionnel ..........................................................................................................................................................................................................          24

5.2. Exemples d’application ............................................................................................................................................................................................           25

Chapitre 2. Théorie et pratiques d’échantillonnage ..........................................................................................              27

I. Introduction et concepts fondamentaux ..........................................................................................................................................            27

1.1. La problématique de l’inférence .........................................................................................................................................................            27

1.2. Définitions clés ...............................................................................................................................................................................................................................        27

1.3. Paramètres et statistiques .................................................................................................................................................................................           27

1.4. Les deux sources d’erreur ...................................................................................................................................................................................          28

II. Méthodes et techniques d’échantillonnage ............................................................................................................................             28

2.1. Les méthodes probabilistes (aléatoires) .........................................................................................................................             28

A. Le Tirage Aléatoire Simple (TAS) .....................................................................................................................................................           28

B. Le sondage stratifié .............................................................................................................................................................................................................        29

C. Le sondage en grappes ...............................................................................................................................................................................................          29

D. Le sondage à plusieurs degrés ................................................................................................................................................................           29

2.2. Les méthodes non-probabilistes (empiriques) .............................................................................................                29

A. La méthode des quotas .............................................................................................................................................................................................          29

B. La méthode « boule de neige » ...............................................................................................................................................................            29

III. Les distributions d’échantillonnage ......................................................................................................................................................            30

3.1. Distribution de la somme de variables aléatoires .....................................................................................              30

3.2. Distribution d’une variable aléatoire continue (la moyenne) ...........................                           30

3.3. Distribution d’une variable aléatoire discrète (la fréquence F) ..............................                 31

3.4. Distribution de la différence de deux statistiques ...................................................................................               31

IV. Détermination de la taille optimale de l’échantillon ......................................................................................              31

4.1. Les paramètres de calcul .......................................................................................................................................................................................          31

4.2. Cas d’une moyenne (variable continue) ...........................................................................................................................             32

4.4. Correction pour population finie ......................................................................................................................................................             32

Chapitre 3. L’estimation ponctuelle et par intervalle de confiance ..........................                 35

I. Introduction à l’estimation .................................................................................................................................................................................................         35

1.1. De l’estimateur à l’estimation .............................................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,....................................           35

1.2. Les deux formes d’estimation .......................................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,..........................................             35

II. Qualités d’un bon estimateur .......................................................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,..........................          36

2.1. L’absence de biais (exactitude) ...........................................................................................................,,,,,,,,,,,,,......................................           36

2.2. La convergence (consistance) ...............................................................................................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,..................................           36

2.3. L’efficacité (précision) ..................................................................................................................................................................................................         36

2.4. L’Erreur Quadratique Moyenne (EQM) .............................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,............................             36

III. L’estimation ponctuelle ......................................................................................................................................................................................................          37

3.1. Estimation de la moyenne (μ) .................................................................................................................................................................             37

3.2. Estimation d’une proportion (p) .......................................................................................................................................................             37

3.3. Estimation de la variance (σ2)  : Une nuance cruciale ..................................................................                37

IV. L’estimation par Intervalle de Confiance (IC) ..................................................................................................................           38

4.1.  Le niveau de confiance (1 ‒ α) et le risque (α) ...............................................................................................              38

4.2. Intervalle de confiance d’une moyenne (μ) ..............................................................................................................             38

4.3. Intervalle de confiance d’une proportion (p)  ....................................................................................................              39

4.4. Intervalle de confiance d’une variance σ2 .................................................................................................................               39

4.4.1. La statistique pivot ...............................................................................................................................................................................................          39

4.4.2. Construction de l’intervalle ..............................................................................................................................................................           40

4.4.3. Cas de l’écart-type (σ) ...................................................................................................................................................................................           40

4.5. Facteurs influençant la précision (largeur de l’intervalle) ...................................................                40

Conclusion ................................................................................................................................................................................................................................................................        42

Chapitre 4. Les tests d’hypothèses statistiques ................................................................................................................             43

I. Introduction et fondements de la décision statistique .................................................................................                43

1.1. Définition du test d’hypothèse .................................................................................................................................................................          43

1.2. La structure duale : H0 et H1 .......................................................................................................................................................................           43

1.3. La philosophie du test : le bénéfice du doute .......................................................................................................              44

II. Les risques d’erreur et la puissance d’un test ..................................................................................................................              44

2.1. Le risque de première espèce (α) .....................................................................................................................................................           44

2.2. Le risque de deuxième espèce (β) ...................................................................................................................................................            44

2.3. La puissance d’un test (1‒β) .........................................................................................................................................................................           45

III. La procédure générale d’un test (les 5 étapes) ...........................................................................................................             45

IV. Les tests paramétriques usuels ..........................................................................................................................................................................         47

4.1. Test sur une moyenne unique (conformité) ..........................................................................................................              47

4.2. Test sur une proportion unique ............................................................................................................................................................          47

4.3. Test de comparaison de deux moyennes (échantillons indépendants) ............                   47

4.4. Test de comparaison de deux proportions ...............................................................................................................              48

V. Les tests du Khi-deux (χ2) .................................................................................................................................................................................................        48

5.1. Le test d’indépendance (lien entre deux variables) ............................................................................                48

5.2. Le tableau de contingence ................................................................................................................................................................................            48

5.3. La statistique du χ2 .............................................................................................................................................................................................................         48

5.4. Le test d’adéquation (qualité de l’ajustement) ................................................................................................               49

VI. L’analyse de la variance (ANOVA) ................................................................................................................................................................         49

6.1. Le principe : pourquoi analyser des variances pour comparer des moyennes ? ..............................................................................................................................................................................................................................................................                           49

6.2. Les hypothèses du test ...............................................................................................................................................................................................          49

6.3. La statistique de Fisher (F)  .............................................................................................................................................................................          50

6.4. Les conditions d’application ........................................................................................................................................................................            50

Chapitre 5. Corrélation et régression linéaire simple ..................................................................................               53

I. Introduction : de la liaison à la modélisation ..........................................................................................................................           53

1.1. La notion de dépendance statistique .......................................................................................................................................             53

1.2. Corrélation n’est pas causalité ................................................................................................................................................................            53

1.3. Pourquoi la régression linéaire ? .......................................................................................................................................................            54

II. L’analyse de la corrélation ................................................................................................................................................................................................         54

2.1. L’outil visuel : le diagramme de dispersion (Scatter Plot) ....................................................                54

2.2. Le coefficient de corrélation de Pearson  .......................................................................................................................             55

2.3. Interprétation de l’intensité............................................................................................................................................................................           55

2.4. Le test de significativité du coefficient .................................................................................................................................             55

III. La régression linéaire simple ..................................................................................................................................................................................         56

3.1. Le modèle mathématique ...................................................................................................................................................................................           56

3.2. La méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO) .......................................................................                56

3.3. Interprétation économique des coefficients .........................................................................................................               56

3.4. Les hypothèses de Gauss-Markov ...................................................................................................................................................            57

IV. Evaluation de la qualité du modèle ............................................................................................................................................................         57

4.1. Le coefficient de détermination (R2)  .....................................................................................................................................            57

4.2. L’erreur type de la régression (Se) ...............................................................................................................................................             57

V. Prédiction et inférence ...............................................................................................................................................................................................................        58

5.1. Test de significativité du coefficient (β1) ......................................................................................................................             58

5.2. Intervalle de confiance du coefficient ....................................................................................................................................             58

5.3. La prédiction ponctuelle .........................................................................................................................................................................................          59

5.4. Limites et précautions : l’extrapolation ..............................................................................................................................            59

Conclusion générale  .......................................................................................................................................................................................................................................         61

Annexes ........................................................................................................................................................................................................................................................................................         63

Annexe 1. Guide d’utilisation d’Excel pour les fonctions statistiques ...............................                 65

Annexe 2. Guide d’utilisation de Stata ..........................................................................................................................................................             67

Annexe 3. Recueil de 30 Exercices d’examen avec corrigés détaillés ...............................                  69

Annexe 4. Tables statistiques usuelles .....................................................................................................................................................                111

Table des matières ....................................................................................................................................................................................................................................                   121